Как находить промежутки убывания функции примеры

Как находить промежутки убывания функции примеры


Интервалы возрастания и убывания функции

С помощью данного сервиса можно найти интервалы возрастания и убывания функции в онлайн режиме с оформлением решения в Word.
  • Решение онлайн
  • Видеоинструкция
Правила ввода функций.
  1. Все математические операции выражаются через общепринятые символы ( +,-,*,/,^ ). Например, x 2 +x, записываем как x^2+x.
  2. Корень квадратный: sqrt. Например, sqrt(x^2+1/2). arcsin(x) = asin(x). e x = exp(x). число π = pi.

Исследование функции с помощью производной

Определение. Точка х0 называется точкой локального максимума, если для любого х из окрестности точки х0 выполняется неравенство: f(x0 ) > f(x).

Определение. Точка х0 называется точкой локального минимума, если для любого х из окрестности точки х0 выполняется неравенство: f(x0 ) < f(x).
Точки минимума и максимума функции называются точками экстремума данной функции. а значения функции в этих точках – экстремумами функции.
Точками экстремума могут служить только критические точки I рода, т.е. точки, принадлежащие области определения функции, в которых производная f ’(x) обращается в нуль или терпит разрыв.

Правило нахождения экстремумов функции y = f(x) с помощью первой производной
  1. Найти производную функции f ’(x).
  2. Найти критические точки по первой производной, т.е. точки, в которых производная обращается в нуль или терпит разрыв.
  3. Исследовать знак первой производной в промежутках, на которые найденные критические точки делят область определения функции f(x). Если на промежутке f ’(x) < 0, то на этом промежутке функция убывает; если на промежутке f ’(x) > 0, то на этом промежутке функция возрастает.
  4. Если в окрестности критической точки f ’(x) меняет знак с «+» на «-», то эта точка является точкой максимума, если с «-» на «+», то точкой минимума.
  5. Вычислить значения функции в точках минимума и максимума.

С помощью приведенного алгоритма можно найти не только экстремумы функции, но и промежутки возрастания и убывания функции.

Пример №1. Найти промежутки монотонности и экстремумы функции: f(x) = x 3 – 3x 2.
Решение: Найдем первую производную функции f ’(x) = 3x 2 – 6x.
Найдем критические точки по первой производной, решив уравнение 3x 2 – 6x =0; 3x(x-2) =0 ; x = 0, x = 2

Исследуем поведение первой производной в критических точках и на промежутках между ними.

f(0) = 0 3 – 3*0 2 = 0
f(2) = 2 3 – 3*2 2 = -4
Ответ: Функция возрастает при ;
функция убывает при ;
точка минимума функции (2;-4); точка максимума функции (0;0).

Правило нахождения экстремумов функции y = f(x) с помощью второй производной
  1. Найти производную f ’(x).
  2. Найти стационарные точки данной функции, т.е. точки, в которых f ’(x) = 0.
  3. Найти вторую производную f ’’(x).
  4. Исследовать знак второй производной в каждой из стационарных точек. Если при этом вторая производная окажется отрицательной, то функция в такой точке имеет максимум, а если положительной, то – минимум. Если же вторая производная равна нулю, то экстремум функции надо искать с помощью первой производной.
  5. Вычислить значения функции в точках экстремума.
Отсюда следует, что дважды дифференцируемая функция f(x) выпукла на отрезке [a, b], если вторая производная f"(x) ≥ 0 при всех х [a, b].

Все вычисления можно проделать в онлайн режиме.

Пример №2.

Исследовать на экстремум с помощью второй производной функцию: f(x) = x 2 – 2x - 3.
Решение: Находим производную: f ‘(x) = 2x - 2.
Решая уравнение f ’(x) = 0, получим стационарную точку х =1. Найдем теперь вторую производную: f ’’(x) = 2.
Так как вторая производная в стационарной точке положительна, f’’(1) = 2 > 0, то при x = 1 функция имеет минимум: fmin = f(1) = -4.
Ответ: Точка минимума имеет координаты (1; -4).



интервалы возрастания и убывания функции,промежутки монотонности функции:Нахождение интервалов возрастания и убывания функции в онлайн режиме. Промежутки монотонности функции. Оформление в Word

как находить промежутки убывания функции примеры

Как находить промежутки убывания функции примеры


Возрастание, убывание, экстремум функций (без нахождения производной)

В данном разделе рассмотрим задачи на возрастание и убывание функции . в которых не надо вычислять производные. Функцию у = f(x) называют убывающей на промежутке, если для любых x1 и x2 принадлежавших этому промежутку, из условия x2 > x1 следует, что f(x2 ) < f(x1 ). Функцию у = f(x) называют возрастающей на промежутке, если для любых x1 и x2. принадлежавших этому промежутку, из условия x2 > x1 следует, что f(x2 ) > f(x1 ). Т.е. положительному приращению аргумента ∆х = x2 — x1 > 0 соответствует положительное приращение функции ∆f = f(x2 ) — f(x1 ) > 0. Значит, Отсюда Аналогично доказывается и для убывающей функции. Итак, получили правило: Если на промежутке производная функции положительна, то функция возрастает. Если на промежутке производная функции отрицательна, то функция убывает. Точки области определения функции, в которых производная равна нулю, называются стационарными точками . Точки, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими точками . Если при переходе через критическую точку х0 ϵ D(f). производная функции меняет знак с «+» на «-», то х0 — точка локального максимума функции . Если при переходе через критическую точку х0 ϵ D(f). производная функции меняет знак с «-» на «+», то х0 — точка локального минимума функции . Пример 1. Определить по графику промежутки возрастания функции. Решение Если функция возрастает, то при движении по графику слева направо ординаты увеличиваются. Следовательно, функция возрастает на отрезках [-6; 0] U [6; 9]. Ответ: [-6; 0] U [6; 9]. Пример 2. Определить по графику промежутки убывания функции. Решение Если функция убывает, то при движении по графику слева направо ординаты уменьшаются. Следовательно, функция убывает на отрезке [-1; 2]. Ответ: [-1; 2]. Пример 3. Укажите график возрастающей функции. Ответ: 3. Пример 4. Укажите график убывающей функции. Ответ: 4. Пример 5. Указать интервалы возрастания функций, графики которых представлены на рисунках: Ответ:
    1) [-5; 1] U [3; 5] ; 2) [-3; 0]U[3; 6] ; 3) [-5; 0) U (0; 5] ; 4) [-3; -2] U [2; 3] U [4; 5] .
Пример 6. Определить по графику функции у = х 4 — х 3 + bx + c знаки коэффициентов b и c. Решение Заметим, что с = f(0). следовательно, с > 0. Также заметим, что b = f'(0). и, следовательно, b < 0. так как на интервале, содержащем точку 0. функция убывает. Ответ: с > 0, b < 0. Пример 7. Определить по графику производной функции у = f'(x) точку максимума. Решение Если при переходе через критическую точку х0 ϵ D(f) производная функции меняет знак с «+» на «-», то х0 — точка локального максимума функции.

Критическими точками функции являются точки -7, -3, 2, 5. Производная меняет знак с «+» на «-» в точке х0 = 2. Ответ: 2. Пример 8. Указать интервалы убывания функции, если задан график ее производной. Решение Если непрерывная функция убывает на множестве, то ее производная не больше нуля (график ниже оси ОХ ). Поэтому, функция убывает на [-8; -3] U [2; 5]. Ответ: [-8; -3] U [2; 5]. Пример 9. Определить по графику функции у = kx + b знаки коэффициентов k и b. Ответы:

    1) k < 0, b > 0 ; 2) k > 0, b > 0 ; 3) k = 0, b > 0 ; 4) k < 0, b < 0 .
Пример 10. Определить по графикам функции у = ax 2 + bx + c. указанных на рисунках, знаки коэффициентов a, b, c и дискриминанта D. Решение 1) Ветви параболы вниз, значит a < 0. Коэффициент с найдем как у(0) = с. очевидно, c > 0. Если парабола пересекает ось ОХ в двух точках, то дискриминант положительный. Коэффициент b найдем из формулы для, заметим, отрицательной абсциссы вершины параболы: Аналогично рассуждают и в 2) — 4). Ответы:
    1) a < 0, b < 0, c > 0, D > 0 ; 2) a > 0, b < 0, c = 0, D > 0 ; 3) a > 0, b > 0, c > 0, D = 0 ; 4) a > 0, b = 0, c > 0, D < 0 .
Пример 11. Определить точку минимума функции у = f (x). если дан график ее производной. Если таких точек несколько, то найти их сумму. Решение Если при переходе через критическую точку х0 ϵ D(f) производная функции меняет знак с «-» на «+», то х0 — точка локального минимума функции. Критическими точками функции являются точки -7, -3, 2, 5. Производная меняет знак с «-» на «+» в точках -3 и 5. Значит ответ -3 + 5 = 2. Ответ: 2. Пример 12. Определить точку максимума функции у = f (x). если дан график ее производной. Если таких точек несколько, то найти их произведение. Решение Если при переходе через критическую точку х0 ϵ D(f) производная функции меняет знак с «+» на «-», то х0 — точка локального максимума функции. Критическими точками функции являются точки -7,4; 1; 4. Производная меняет знак с «+» на «-» в точке х0 = 1. Ответ: 1. Пример 13. На рисунке изображен график производной функции f (x). определенной на интервале (-3; 8). Найдите промежутки убывания функции f (x). В ответе укажите сумму целых чисел, входящих в эти промежутки. Решение Функция убывает на тех промежутках, на которых график производной находится ниже оси ОХ. Это примерно такие промежутки: (-1,5; 4,5), (6,5; 8). Количество целых точек, входящих в эти промежутки, — 7. Найдем сумму этих точек: -1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 7 = 16. Ответ: 16. Пример 14. На рисунке изображен график производной функции f (x). определенной на интервале (-7; 5). Найдите точку экстремума функции f (x). принадлежащей отрезку [-6; 4]. Решение Производная равна нулю в точке х = -3. В этой точке производная меняет знак с «+» на «-», значит х = -3 — точка локального максимума. Ответ: -3. Пример 15. На рисунке изображен график производной функции f (x). определенной на интервале (-3; 8). Найдите количество точек максимума функции f (x). принадлежащих отрезку [-2; 7]. Решение График функции в трех точках пересекает ось ОХ. И только в двух из них производная меняет знак с «+» на «-». Ответ: 2. Пример 16. На рисунке изображен график производной функции f (x). определенной на интервале (-11; 3). Найдите промежутки возрастания функции f (x). В ответе укажите длину наибольшего из них. Решение Функция возрастает на тех промежутках, на которых график производной расположен выше оси ОХ. Это промежутки: (-11; -10), (-7; -1), (2; 3). Длина наибольшего из них равна -1 — (-7) = 6. Ответ: 6. Пример 17. Найти множество значений функции: Схема решения
  1. Поочередно найти множества значений функции
  2. Найти множество значений дроби
  3. Найти искомое множество решений.
Решение
  1. Множество значений логарифмической функции — вся числовая прямая, т.е. E(lnx) = R. Поэтому
  2. По свойствам неравенств
  3. Так как — убывающая и непрерывная функция, то и
Ответ: [-1; +∞). Список используемой литературы Видеолекция «Возрастание, убывание, экстремум функций (без нахождения производной)».



как находить промежутки убывания функции примеры:Возрастание, убывание, экстремум функций (без нахождения производной) В данном разделе рассмотрим задачи на возрастание и убывание функции . в которых не надо вычислять производные. Функцию у =

как находить промежутки убывания функции примеры

Как находить промежутки убывания функции примеры 15 10 10